Den Spitzkohl halbieren, den Strunk entfernen und in feine Streifen schneiden.
Zwiebel und Knoblauch schälen und fein würfeln.
Das Butterschmalz in einer Pfanne erhitzen und die Zwiebel darin farbig anrösten. Den Knoblauch zugeben und kurz mitrösten. Dann den Speck zugeben und für ein paar Minuten mitrösten.
Spitzkohl, Majoran und Kümmel zugeben, gut umrühren und mit etwas Wasser aufgießen. Leicht salzen und zugedeckt ca. 10 Minuten kochen lassen, bis der Spitzkohl gar ist.
Sobald der Spitzkohl weich ist, die Pfanne vom Herd nehmen und kurz überkühlen lassen. Eventuell überschüssige Flüssigkeit abgießen.
Den Ofen auf 180° Umluft vorheizen.
Ein Backblech mit Backpapier auslegen. Den Blätterteig vorsichtig darauf ausrollen und mit dem abgekühlten Gemüse belegen. Dabei außen einen Rand von ca. 2-3 cm frei lassen. Den Strudel längs einrollen und mit dem verquirlten Ei bestreichen. Mit einem Spieß ein paar kleine Löcher in den Krautstrudel stechen, damit die Feuchtigkeit beim Backen entweichen kann.
Im vorgeheizten Backofen ca. 30-35 Minuten backen, bis der Strudel außen schön gebräunt ist. Aus dem Ofen nehmen und in Stücke schneiden.